2014 数学竞赛 代数不等式综合(局部调整法)（精选）

.求证:Р 12 n 12 n i 2Р存在 x12, x ,, xn 的一个排列 y12, y ,, yn ,使得Р n 1Р y2 y  ny . Р 12 n 2Р n 1Р 证明:用反证法,若不然,对于任何排列都有 y2 y  ny .现对的 y, y ,, y 的对Р 12 n 2 12 nР偶排列 ynn, y11 ,, y ,有Р yn2 y n1  ny 1  y 1  2 y 2  ny n  n  1 y 1  y 2  y n ( n  1). Р所以 ynn2 y11  ny 与 y122 y  nyn 不可能同号,所以只能一正一负,所以对于任何排列Р y122 y  nyn 正负参半.对于每一个任何排列,有限次交换二个相邻的数,可以得其余全部排列.且对Р于每一种交换,如 yk,, y k11 y k y k ,我们有Р Р  y1 kyk ( k  1) y k 1  ny n y 1  ky k 1  k  1 y k  ny n Р yk11 y k  y k| | y k  n  1. Р n 1 n 1Р假设当第一排列在区间,,不断地交换相邻二个数时,会跳到, ,则与上式矛盾.Р 2 2Р原命题成立. Р 例 18 把 1993 块正方形玻璃排成一行,每一块都涂上红,白,黄三种颜色之一.以下的操作称为一次操Р作;擦去两块不同色的玻璃上的颜色,并把它们都涂成第三种颜色.求证:不论初始颜色的分布状况如何,Р总可以通过有限次操作,使所有玻璃片都涂上同一种颜色,并且最后的颜色是唯一确定的,与具体的调整Р方案无关. Р Р Р Р练习