果A能够通过初等变换变为B则称A与B等价,用式子表示就是:Р是初等矩阵Р每一个矩阵A都与矩阵等价,其中r是矩阵A的秩,即存在Р6 关于n阶矩阵的逆矩阵Р(1)逆矩阵的定义:设A是一个n阶矩阵,若有n阶方阵B使得РAB=E或BA=EР则称矩阵A是可逆的;Рn阶方阵A可逆的充要条件Р用矩阵的方式描述:存在矩阵B使得 AB=E或BA=E(即定义);Р用A的行列式;Р用矩阵的秩来描述:Р用向量的观点来描述:矩阵A的行向量组(或列向量组)线性无关;Р用方程组的观点来描述:方程组AX=0仅有0解;Р用矩阵A的特征值来描述:A的特征值全不0;Р逆矩阵的性质Р若A有逆矩阵,则逆矩阵是唯一的;Р若A,B是同阶可逆矩阵,则AB也可逆,且;Р;Р逆矩阵的求法Р具体的数字矩阵常用的方法是用伴随矩阵的方法;或用初等变换的方法。这是两种最基本的方法,应该熟练,特别是对于三阶矩阵;Р初等变换求逆矩阵的方法:Р对于抽象的矩阵A,求此逆矩阵,常用的方法是想办法找到矩阵B使得:AB=E,或BA=E,此时的B就是所求的逆矩阵;Р如果要判断矩阵A是否可逆,就考虑上述的矩阵可逆的充要条件;Р关于伴随矩阵Р伴随矩阵的定义,强调伴随矩阵中元素的构成规律;Р伴随矩阵常用的性质对于任意的方阵A均有此伴随矩阵Р当Р对于一般地方阵A,其伴随矩阵的秩为:Р当。Р关于矩阵的秩Р矩阵秩的定义:在矩阵A中,有一个不等于0的r阶子式,且所有r+1阶子式(如果存在的话)全等于0,那么r称为矩阵A的秩,称为矩阵A的最高阶非0子式。规定0矩阵的秩是0。Р矩阵的秩与初等变换的关系:对矩阵A实行初等变换其秩不变Р矩阵秩的求法应用上面的结论,求矩阵A的秩其一般方法是Р有关矩阵秩的重要结论Р若P、Q分别是可逆矩阵,且下列运算有意义,则Р若A为矩阵,B为矩阵,且AB=0,则:Р此外,矩阵的秩常常和向量组的秩联系起来,注意和向量组的秩的关系。Р二常见题型
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