傅氏变换习题解答

jjωωtt−jωt证F()ω=f()tedt=f()tedt=−jtf()tedt=¶[j−tf()t]。dωddωω∫∫−∞−∞∫−∞6.若F()ω=¶[f()t],证明(翻转性质)F(−ω)=¶[]f(−t)+∞+∞+∞−−ii()ωωtt−−()(−)−iωt证F()−=ωft()edt=f()−ted()−t=f()−tedt=¶⎡⎤f(−t)。∫∫−∞−∞∫−∞⎣⎦17.若F()ω=¶[f()t],证明:¶[(ft)cosωt]=−[F(ωω)+F(ω+ω)],02001¶[(ft)sinωt]=−[F(ωω)−F(ω+ω)]。02j00jjωωtt−+∞ee00+1+∞+∞−jωt⎡−−j(ωω00)tt−j(ω+ω)⎤证¶[(ftt)cosω]==f()tedtf()tedt+f()tedt0∫∫−∞22⎣⎢−∞∫−∞⎦⎥1=−[(Fωωω)+F(+ω)];200jjωωtt−+∞ee00−1+∞+∞−jωt⎡−−j(ωω00)tt−j(ω+ω)⎤¶[(ft)sinω0t]==ft()edtf()tedt−ft()edt∫∫−∞2j2j⎣⎢−∞∫−∞⎦⎥1=−[(Fωωω)−F(+ω)]。2j00+∞1+∞8.利用能量积分[(ftd)]2t=|F(ω)|2dω,求下列积分的值:∫−∞2π∫−∞42+∞1c−osx+∞sinx+∞1+∞x(1)dx;(2)dx;(3)dx;(4)dx∫−∞2∫−∞2∫−∞22∫−∞2xx(1+x)()1+x22xsin22+∞1c−osx+∞+∞⎛⎞sinx1+∞⎡sinx⎤解(1)=22=dω(*)2dx2dx=⎜⎟dx¶⎢⎥∫−∞x∫∫−∞xx−∞⎝⎠2π∫−∞⎣x⎦+∞+∞+∞⎡sinx⎤sinx−iωxsinxcosωxsin(1+ω)x+sin(1−ω)x¶⎢⎥=edx=2dx=dx(**)⎣x⎦∫∫−∞x0x∫0x