四种傅里叶变换

模和辐角,或者实部和虚部的形式。Р (3.2.5)Р其中称为序列的幅度频谱,而称为序列的相位频谱;称为序列的实部频谱,称为序列的虚部频谱。经常用和来表示信号的频谱。Р周期序列的离散傅里叶级数Р上面所讨论的三种傅里叶变换都不能在计算机上实现,因为它们在时域连续或者频域连续,或者时域和频域都是连续的。如果要用数字计算机对信号进行频谱分析,也就是要计算信号的傅里叶变换,必须要求输入时域信号是离散的,而计算机得到的频谱值也应该是离散的。Р由上面三种情况,不难发现以下规律:一个域的连续必然对应另一个域的非周期,一个域的离散必然对应另一个域的周期。所以,可以大胆推断出第四种情况,也就是周期序列的频谱特征必然是离散周期的。示意图如图所示。表1对四种傅里叶变换形式的特点作了简要归纳。这里所介绍得到傅里叶变换的几种可能形式中,只有第四种形式对于数字信号处理有实用价值。要使前三种形式能用数字计算机上进行计算,必须针对每一种形式的具体情况,或者在时域和频域同时取样;或者在时域取样;或者在频域取样。最后都将使原时间函数和频率函数都成为周期离散的函数,那么前三种形式最后都变成第四种形式。这也就是我们将要提出的周期序列的离散傅里叶级数,也可以认为是后面要重点介绍的离散傅里叶变换(DFT)的过渡形式。Р周期序列及其频谱Р Р表1 四种傅里叶变换形式的归纳Р时间函数Р频率函数Р连续和非周期Р非周期和连续Р连续和周期Р非周期和离散Р离散和非周期Р周期和连续Р离散和周期Р周期和离散Р设是以为周期的周期序列,与连续时间信号的傅里叶级数展开类似,由于是周期的,必然可以进行傅里叶级数展开。离散傅里叶级数变换对:Р Р这里的和都是以为周期的周期序列,时域和频域都是周期离散的,也是傅里叶变换的第四种形式。其有很明显的物理意义,它表示周期序列可以分解成次谐波,第次谐波频率为,,谐波的幅度为。其中,表示直流分量,其幅度为。