以对角化(即线性变换是否在某组基下的矩阵为对角形),若不能对角化,说明理由;若可以对角化,求可逆阵,使为对角形矩阵。令表示实数域上的三元列向量空间,令,若,作变换。(1)证明为上的线性变换;(2)求及其维数;(3)求及其维数。设为的基,且线性变换在此基下的矩阵为。(1)求的特征值与特征向量;(2)求可逆矩阵,使是对角矩阵。设三维线性空间的线性变换在基下的矩阵为。(1)求的值域及其维数;(2)求的核及其维数。设表示实数域上的次数小于3的多项式,再添上零多项式构成的线性空间,而,,是的一组基,线性变换满足,,求在已知基下的矩阵;设,求。给定的两组基;。定义线性变换:。写出由基到基的过渡矩阵;写出在基下的矩阵;写出在基下的矩阵。设线性变换在基下的矩阵是,求可逆矩阵,使得为对角形矩阵。设。(1)求的全部特征值;(2)求的属于每个特征值的特征向量;(3)求一个可逆矩阵,使为对角形。设,且在的基下的矩阵=。问(1)是否可以对角化?(2)若能对角化,求出的一个基,使在此基下的矩阵为对角矩阵。设数域P上三维线性空间V的线性变换在基下的矩阵A。求在基,下的矩阵;设,求在基下的坐标。四、证明题设是数域上的维向量空间的线性变换,又是的一个基,证明。设,都是向量空间的线性变换,是,的不变子空间,证明也是的不变子空间。设是数域上线性空间的线性变换且。证明:(1)的特征值为1或0;(2);(3)。设是向量空间的两个子空间,是的一个线性变换,证明:若都是的不变子空间,则也是的不变子空间。设是向量空间的一个线性变换,都是的不变子空间。证明:也是的不变子空间。证明:线性变换的属于不同特征值的特征向量线性无关。设是数域上的维线性空间的线性变换,且(恒等变换)。证明:的特征值只能为1或-1;用分别表示的属于特征值1和的特征子空间,证明:。设为数域上的维线性空间的线性变换。证明:。设,且,.证明.其中为恒等变换。
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