地图像在点A,B处地切线重合,求a地取值范围.Р21.解:(1)函数f(x)地单调递减区间为(-∞,-1),单调递增区间为[-1,0),(0,+∞).Р(2)由导数地几何意义可知,点A处地切线斜率为f′(x1),点B处地切线斜率为f′(x2),故当点A处地切线与点B处地切线垂直时,有f′(x1)f′(x2)=-1.Р当x<0时,对函数f(x)求导,得f′(x)=2x+2.Р因为x1<x2<0,所以,(2x1+2)(2x2+2)=-1,Р所以2x1+2<0,2x2+2>0.Р因此x2-x1=[-(2x1+2)+2x2+2]≥=1,Р当且仅当-(2x1+2)=2x2+2=1,即x1=-且x2=-时等号成立.Р所以,函数f(x)地图像在点A,B处地切线互相垂直时,x2-x1地最小值为1.Р(3)当x1<x2<0或x2>x1>0时,f′(x1)≠f′(x2),故x1<0<x2.Р当x1<0时,函数f(x)地图像在点(x1,f(x1))处地切线方程为Рy-(x+2x1+a)=(2x1+2)(x-x1),Р即y=(2x1+2)x-x+a.Р当x2>0时,函数f(x)地图像在点(x2,f(x2))处地切线方程为Рy-ln x2=(x-x2),即y=·x+ln x2-1.Р两切线重合地充要条件是Р由①及x1<0<x2,知-1<x1<0.Р由①②得,a=x+ln-1=x-ln(2x1+2)-1.Р设h(x1)=x-ln(2x1+2)-1(-1<x1<0),Р则h′(x1)=2x1-<0.Р所以,h(x1)(-1<x1<0)是减函数.Р则h(x1)>h(0)=-ln 2-1,Р所以a>-ln 2-1.Р又当x1∈(-1,0)且趋近于-1时,h(x1)无限增大,Р所以a地取值范围是(-ln 2-1,+∞).Р故当函数f(x)地图像在点A,B处地切线重合时,a地取值范围是(-ln 2-1,+∞).
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