2009-2014全国大学生数学竞赛试题及答案(最完整版)

limarIr→+∞171 七.(满分14 分)判断级数()()1111212nnnn∞=+++++∑?的敛散性,若收敛,求其和。第五届(2014)全国大学生数学竞赛决赛试卷一.解答下列各题(每小题7 分,共28 分,要求写出重要步骤) 1.计算积分22220sinxtxdtdxtππ∫∫. 2.设()fx是[0,1]上的连续函数,且满足10() 1fxdx=∫,求一个这样的函数()fx使积分()12201()Ixfxdx=+∫取得最小值. 3.设(,,)Fxyz和(,,)Gxyz有连续偏导数,(,)0(,)FGxz?≠?,曲线(,,) 0:(,,) 0FxyzGxyz=?Γ?=?过点0000(,,)Pxyz,记Γ在xoy面上的投影曲线为S,求S 上过点00(,)xy的切线方程. 4.设矩阵12134122Aa????=??????,其中a为常数,矩阵B满足关系式ABABE=?+,其中E是单位矩阵且BE≠.若秩()3Rank A B+=,试求常数a的值. 二.(12 分)设()421() , , ( ) () () ( )2fxC fxhfxfxhfxhhθ′′′∈?∞+∞+=+ + +,其中θ是与,xh无关的常数,证明()fx是不超过三次的多项式. 三.(12 分)设当1x>时,可微函数()fx满足条件:01() () () 01xfxfx ftdtx′+?=+∫,且(0) 1f=,试证:当0x≥时,有() 1xefx?≤≤. 四.(10 分)设{}(,)0 1,0 1,Dxyx y=≤≤≤≤,(,)DIfxydxdy=∫∫,其中函数(,)fxy在D上有连续二阶偏导数,若对任何,xy有(0, ) ( , 0) 0fyfx==,且2(,)fxyAxy?≤??.证明4AI≤. 五.(12 分)设函数()fx连续可导,()22()PQRfxyz=== +,有向曲面tΣ是圆柱体