2.留数的求法Р 为了应用留数定理求周线积分,首先应该掌握求留数的方法.而计算在孤立奇点的留数时我们只关心其洛朗展式中的这一项的系数,所以应用洛朗展式求留数是一般方法.Р定理5 设为的一阶极点(只要及在点解析,且,,),则.Р定理6 设为的阶极点,其中在点解析,,则Р这里代表且有Р3.留数定理与柯西积分的关系Р由留数定理可以推出柯西积分定理、柯西积分公式、高阶导数公式,过程如下:Р⑴若被积函数在积分回路内为解析函数,则在内无奇点,故被积函数的留数为零.由留数定理,有Р Р此式即为复变函数积分的柯西定理:单通区域内的解析函数内闭路的积分为零.Р⑵若被积函数在积分回路内有一阶极点,考察积分,其中为积分回路的内点,则是被积函数的一阶极点.由留数定理以及一阶极点留数的计算公式,有Р Р所以Р此式即是复变函数积分的柯西公式.Р⑶若被积函数在积分回路内有阶极点,考察积分,其中为积分回路的内点,则是被积函数的阶极点.由留数定理以及阶极点留数的计算公式,有Р Р Р所以Р三.柯西积分公式的推广Р1.高阶导数公式Р由柯西积分公式在积分号下求导数,可推测并能证明下面的高阶导数公式.Р定理7. 设区域的边界是周线(或复周线),函数在内解析,在上连续,函数在区域内有各阶导数,并且有Р .Р这是一个用解析函数的边界值表示其各阶导数内部值的积分公式.Р说明: Р(1)解析函数在其解析的区域内可以求导任意多次,(即任意阶导数都存在),并且它们都在D内解析,这是解析函数的又一重要特点。Р(2)对复连通区域,高阶导数公式依然成立(积分沿内、外边界线的正方向进行)。Р(3)高阶导数公式的作用,不在于通过积分来求导,而在于通过求导来求积分。(求导运算比积分运算要简单的多)。Р2.处的柯西积分公式Р定理8. 如果函数在简单闭曲线的外区域内及上每一点解析,并且,那么Р , Р这里的积分是按照反时针方向选取的.Р图三
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