′(x),g(x)的取值变化情况如下:x(0,1)1(1,3)3(3,+∞)g′(x)+0-0+g(x)极大值极小值当0<x≤3时,g(x)≤g(1)=-4<0.又因为g(x)在(3,+∞)上单调递增,因而g(x)在(3,+∞)上只有1个零点.故g(x)在(0,+∞)上只有1个零点.19.(12分)(2019·安徽淮北一中模拟)已知某工厂每天固定成本是4万元,每生产一件产品成本增加100元,工厂每件产品的出厂价定为a元时,生产x(x>0)件产品的销售收入是R(x)=-x2+500x(元),P(x)为每天生产x件产品的平均利润(平均利润=).销售商从工厂以每件a元进货后,又以每件b元销售,且b=a+λ(c-a),其中c为最高限价(a<b<c),λ为销售乐观系数,据市场调查,λ由当b-a是c-b,c-a的比例中项时来确定.(1)每天生产量x为多少时,平均利润P(x)取得最大值?并求P(x)的最大值;(2)求乐观系数λ的值;(3)若c=600,当厂家平均利润最大时,求a与b的值.【解析】(1)依题意设总利润为L(x),则L(x)=-x2+500x-100x-40000=-x2+400x-40000(x>0),∴P(x)==-x-+400≤-200+400=200,当且仅当x=,即x=400时等号成立.故当每天生产量为400件时,平均利润最大,最大值为200元.(2)由b=a+λ(c-a),得λ=.∵b-a是c-b,c-a的比例中项,∴(b-a)2=(c-b)(c-a),两边同时除以(b-a)2,得1=·=,∴1=·,解得λ=或λ=(舍去).故乐观系数λ的值为.(3)∵厂家平均利润最大,∴a=+100+P(x)=+100+200=400.由b=a+λ(c-a),结合(2)可得b-a=λ(c-a)=100(-1),∴b=100(+3).故a与b的值分别为400,100(+3).
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