我们使用标准的变分技巧来来解决问题.若将J(u)限制在空间H1(RN)的由径向对称泛函组成的子空间H(RN)上,或者,使用扰动方法或者使用投影算子将其投影到有限维上等方法,均可解决这一困难.本文中,我们选用将其限制在空间H(RN)上,这就要求我们找到有界序列来保证紧性的成立,本文中使用截断技巧来获得序列有界.为了获得问题(2.1.1)的非平凡解和无穷多高能量解,我们会用到变分法以及后面给出的变形的喷泉定理.在文中,使用的C,Cj,j=1,2,···均为常数,且它们互不相关.定义2.2.1设J∈CI(X,R),如果满足条件J(uj)→c,JI(uj)→0,?j→∞,?(2.2.5)的每一个序列(uj)⊂X在空间X中都存在收敛子列,我们称J满足(Palais−Smale)c条件.如果对所有的c∈R,J满足(Palais−Smale)c条件.我们称J满足Palais−Smale条件(简称PS条件).本文中,我们后面的证明会用到下列变形的喷泉定理(见文献[15]).引理2.2.2(喷泉定理)[见文献[15]]设X是一个自反的巴拿赫空间,存在ej∈X且IIej∈XI?(XI是X的共辄),使得X=span{ej|j=1,2···},XI?=span{ej|j=1,2···}j且(ej,eI)=?1,?i=j,0,?i/=j.?令Xj=span{ej},则有X=?白j≥1?Xj,为了方便我们令kYk=span{e1,···,ek},且Zk=Y⊥,则空间X有一个直和分解X=Yk⊕Zk.我们假设J∈CI(X,R)使得J(−u)=J(u),对任意的k∈N,存在ρk>γk>0,使得(A1)ak:=?maxu∈Yk,u=ρk(A2)bk:=?infu∈Zk,u=γk?J(u)≤0;J(u)→+∞,?k→∞;(A3)对任意的c>0,J(u)满足(C)c条件;则J有一个临界值序列{un}→+∞.
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