参数远离临界值时是否还会出现周期现象,因此在研究微分方程(包括常微分方程和泛函微分方程)的局部Hopf分支的基础上,人们还进一步研究了全局Hopf分支,即当参数大范围变化时周期解的存在性问题。吴建宏在文献[27]中讨论了带有多个参数的时滞微分方程的全局Hopf分支存在性,得到了判断周期解参数大范围存在的有效方法。在讨论系统的稳定性以及分支问题时,多数的理论都是针对自治系统的,而对于非自治系统,相对来说理论较少。在讨论稳定性方面,Zhao和Thieme在文献[28–30]中提出了极限方程渐近自治半流的理论,为解决一些非自治方程的稳定性提出了有效的办法。而对于非自治系统的周期解的存在性问题,文献[4]中介绍的Floquet乘子理论和Gaines和Mawhin在文献[31]中提出的重合度的延展定理都给出了判断非自治周期系统的周期解的存在性的有效办法。1.3本文的主要工作本文主要利用中心流形理论、规范型方法、局部Hopf分支存在性定理以及全局Hopf分支定理等方法,研究了几类具有广泛实际应用背景的时滞微分方程的平衡点的局部与全局稳定性、局部与全局Hopf分支的存在性、Hopf分支性质以及不动点分支等问题。本文的主要工作分为以下几部分:第一章,阐述了课题背景、介绍了泛函微分方程的分支理论的发展现状以及本文的主要工作。第二章,讨论了一类单向耦合的非线性系统的稳定性和Hopf分支。因为耦合是单向的,意味着变量之间的相互影响也是单向的,也就是说第一个变量的的变化会相应地引起第二个变量的变化,而第二个变量的变化对第一个变量没有影响。所以首先讨论了第一个方程的零解稳定性及Hopf分支。在得到第一个变量的基本性质的基础上我们又考虑系统第二个变量的性质,此时关于第二个变量的方程为一非自治方程,所以我们以极限方程的渐近自治半流的方法讨论了耦合系统的稳定性。此外对于非自治的耦合系统,我们以重合度的延展
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