两类非线性延迟微分方程数值解的振动性分析-计算数学专业毕业论文

分方程的振动性是非常有必要的.延迟微分方程的振动性研究主要包含两个方面:一是对解析解的振动性进行研究,二是运用合适的数值方法对其数值解的振动性进行研究.现在关于延迟微分方程解析解的振动性理论已经有一些[7–10],但是其数值解振动性的研究是近十几年才发展起来的.由于延迟微分方程的数值解法不是常微分方程数值解法的完全延拓,并且由延迟项引起的振动性可能在常微分方程中不存在,因此用数值方法来研究延迟微分方程的振动性就成为既有理论意义又有实际价值的研究课题.现阶段,关于延迟微分方程数值解稳定性研究的文献已经有很多[11–17],在生态、生物、传染病的传播等非线性模型上的应用方面,振动理论的研究成果也有一些[18–24],但这些研究成果都是关于方程的解析解的.数值解的振动性的研究成果目前为止仍然很少[25–29],并且这些文献都是关于线性延迟微分方程的.高建芳等人和王琦等人分别在2011年和2013年对两类非线性延迟微分方程数值解的振动性做了详细的研究[30,31].下面我们就来回顾一下有关延迟微分方程数值解振动性研究的一些重要结果.2007年,Liu,Gao和Yang[25]对一类滞后型自变量分段连续的延迟微分方程x′(t)+ax(t)+a1x([t−1])=0?(1-1)数值解的振动性进行了研究.他们得到了方程数值解振动的条件,并证明了θ-方法能够保持方程解析解的振动性.2009年,Liu,Gao和Yang[26]又用Runge-Kutta方法对方程(1-1)数值解的振动性进行了研究,给出其数值解振动的条件,并证明在一定条件下数值解可以保持方程解析解的振动性.Song和Liu[27]于2012年对超前滞后交替混合型自变量分段连续延迟微分方程x′(t)=ax(t)+a0x(M[(t+N)/M])?(1-2)数值解的振动性和稳定性进行了研究.得到了数值解振动和稳定的充要条件,并–2–