上单调性和函数在区间端点处函数值异号可得函数在区间上有且只有一个零点,即,则依次讨论利用放缩法即可证明.试题解析:数求导可得,令可得,当时,.此时;当时,,此时,故函数的单调递减区间为,单调递增区间为.(2)由(1)可知函数在区间上单调递减,又,所以,当时,因为,且函数的图像是连续不断的,所以在区间内至少存在一个零点,又在区间上是单调的,故,因此,当时,;当时,;当时,,综上所述,对一切的,.【考点定位】导数单调性放缩法裂项求和【名师点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的性质,解决问题的关键是求导要精确;利用导数研究函数单调性的一般步骤:(1)确定函数的定义域;(2)求导数f′(x);(3)①若求单调区间(或证明单调性),只需在函数f(x)的定义域内解(或证明)不等式f′(x)>0或f′(x)<0.②若已知f(x)的单调性,则转化为不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在单调区间上恒成立问题求解.利用导数证明不等式,就是把不等式恒成立的问题,通过构造函数,转化为利用导数求函数最值的问题.应用这种方法的难点是如何根据不等式的结构特点或者根据题目证明目标的要求,构造出相应的函数关系式.失误与防范1.研究函数的有关性质,首先要求出函数的定义域.2.利用单调性求最值时不要忽视f′(x)=0的情况.3.“f′(x0)=0”是“函数f(x)在x0取到极值”的必要条件.6.【2014四川,文21】已知函数,其中,为自然对数的底数。(Ⅰ)设是函数的导函数,求函数在区间上的最小值;(Ⅱ)若,函数在区间内有零点,证明:.【答案】(Ⅰ)当时,;当时,;当时,.(Ⅱ)的范围为.内存在零点,即在区间内至少有两个零点.由(Ⅰ)可知,当及时,在内都不可能有两个零点.所以.此时,在上单调递减,在上单调递增,因此,且必有.由得:,代入这两个不等式即可得的取值范围.试题解析:(Ⅰ)①当时,,所以.②当时,由得.
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