程组(*)的一个解为.Р取.Р将的一组基化为标准正交基.Р解(1 )正交化, 取Р , Р(2 ) 将单位化Р则,,为R3的一组基标准正交基.Р3.求齐次线性方程组Р的解空间的一组标准正交基.Р分析因齐次线性方程组的一个基础解系就是其解空间的一组基,所以只需求出一个基础解系再将其标准正交化即可.Р解对齐次线性方程组的系数矩阵施行初等行变换化为行最简阶梯形矩阵Р可得齐次线性方程组的一个基础解系Р.Р由施密特正交化方法, 取Р,Р将单位化得单位正交向量组Р因为齐次线性方程组的解向量的线性组合仍然是齐次线性方程组的解,所以,,是解空间的一组标准正交基.Р设, ,…, 是n维实列向量空间中的一组标准正交基, A是n阶正交矩阵,证明: , ,…, 也是中的一组标准正交基.Р证明因为是n维实列向量空间中的一组标准正交基, 所以Р .Р又因为A是n阶正交矩阵, 所以.Р则Р Р故也是中的一组标准正交基.Р5.设是3维欧氏空间V的一组标准正交基, 证明Р也是V的一组标准正交基.Р证明由题知Р Р, 构成V的一组标准正交基.Р习题五Р(A)Р一、填空题Р1.当k满足时,.Р解三个三维向量为的一组基的充要条件是, 即.Р2.由向量所生成的子空间的维数为.Р解向量所生成的子空间的维数为向量组的秩, 故答案为1.Р3. .Р解根据定义, 求解方程组就可得答案. Р设所求坐标为, 据题意有.Р为了便于计算, 取下列增广矩阵进行运算Р,Р所以= (33,-82,154).Р4. .Р解因为, 所以过渡矩阵为.Р5. 正交矩阵A的行列式为.Р解.Р6.已知5元线性方程组AX = 0的系数矩阵的秩为3, 则该方程组的解空间的维数为.Р解 5元线性方程组AX = 0的解集合的极大无关组(基础解系)含5 – 3 =2 个向量, Р故解空间的维数为2.Р满足.Р解四个四维向量不是的一组基的充要条件是, 则或1.
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