并且证明: 4.证明: (i)是和的最大公因式; (ii) 此处等都是的多项式。 5.设都是有理数域 Q 上的多项式。求使得 6.设令是任意正整数,证明:由此进一步证明,对于任意正整数,都有 7.设证明: 8.证明:对于任意正整数都有 9.证明:若是与互素,并且与的次数都大于 0,那么定理里的与可以如此选取,使得的次数低于的次数, 的次数低于的次数,并且这样的与是唯一的。 10.决定,使与的最大公因式是一次的。 11.证明:如果那么对于任意正整数, 12.设是数域 F 上的多项式。与的最小公倍式指的是 F[x] 中满足以下条件的一个多项式: 且; 如果∈F[x] 且,那么证明:F[x] 中任意两个多项式都有最小公倍式,并且除了可能的零次因式的差别外, 是唯一的。设都是最高次项系数是 1的多项式,令表示和的最高次项系数是 1的那个最小公倍式。证明 13.设并且证明: 14.设证明: 互素的充要条件是存在多项式使得 15.设令比照定理 1.4.2 ,证明: 有最大公因式. [ 提示:如果不全为零,取是I中次数最低的一个多项式,则就是的一个最大公因式. ]§2.4 多项式的分解 1.在有理数域上分解以下多项式为不可约多项式的乘积: 2.分别在复数域,实数域,有理数域上分解多项式为不可约因式的乘积. 3.证明: 当且仅当 4.求在内的典型分解式; 求在内的典型分解式 5. 证明:数域 F 上一个次数大于零的多项式是中某一不可约多项式的幂的充分且必要条件是对于任意或者或者存在一个正整数使得 6.设是中一个次数大于零的多项式. 如果对于任意只要就有或那么不可约. §2.5 重因式 1.证明下列关于多项式的导数的公式: 2.设是的导数的重因式.证明: 未必是的重因式; 是的重因式的充分且必要条件是 3.证明有理系数多项式没有重因式.4.应该满足什么条件,下列的有理系数多项式才能有重因式?
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