线性代数与解析几何_习题解答(王中良)

Р x  a1x  an2 x  an1x  anР命题得证。Рcos 1 0  0 0Р 1 2cos 1  0 0Р (4) 0 1 2cos 0 0  cos nР Р 0 0 0  1 2cosР Р Р 证明:用数学归纳法Р cos 1Р n  2时D  2cos2 1  cos 2Р 2 1 2cosР 假设阶数 n 1时命题成立Р 对Dn按最后一行展开,得Р Dn  2cos Dn1  Dn2 (2cos)  cos(n 1) cos(n  2) cos nР 15.计算n阶行列式:Р 1 1  1Р a1 a2  anР(1) Р n2 n2 n2Р a1 a2  anР n n nР a1 a2  anР 解:造n 1阶范德蒙行列式Р 1 1  1Р a1 a2  an1Р  nР Dn1  n2 n2 n2 (an1  ai ) (ai  a j )Р a1 a2  an1 i1 1 jinР n1 n1 n1Р a1 a2  an1Р a n a n  a nР 1 2 n1 Р 1 1  1Р a1 a2  anР n1Р 将Dn1按最后一列展开,其中有一项为 an1 Р n2 n2 n2Р a1 a2  anР n n nР a1 a2  anР n1Р 且只有这一项含有an1Р 而 n n1Р Dn1 [an1 (a1  a2  an )  an1 ](ai  a j )Р 1 jinР 比较之,原式Р (a1  a2  an ) (ai  a j )Р 1 jin