中国地质大学《线性代数》线性代数-例题与习题

=3 ; 若}12/10{, ,, R(A )=2. ⑶已知矩阵的秩,求矩阵中的参数例 16设n阶(n 3)方阵1 1 1 aa aa aaA 的秩为 n-1,则 a =() (A) 1 (B) 1/(1 -n) (C) -1 (D) 1/( n- 1) 解一因为 R(A )=n- 1< n(即方阵 A是降秩矩阵/不可逆阵/奇异阵), 故A=[( n- 1)a +1](1 -a) n -1 =0a =1/(1 -n)或1 当 a =1时,容易看出 R(A )=1 ,因此必有 a =1/(1 - n ). 答案选(B). [注]熟记“要点和公式”中总结的“方阵是否可逆的判定条件”. 解二和例 13类似,有a a a aaaan1 1 1 )1(1~ A 当且仅当 a =1/(1 -n)时, R(A )=n-1 [练习 10] 设矩阵k k k k111 111 111 111A ,且 R(A )=3 ,则 k =________ [提示]利用A=(k +3)( k -1) 3 =0或者1000 0100 0010 1113~k k k kA [答案]k=- 3例 17若矩阵011 12 421A ,当 A的秩有最小值时, =() (A) 2 (B) - 1 (C) 9/4 (D) 1/2 解一容易看出 A中有 2阶非零子式,故 R(A) 2. R(A)取最小值 2时, A=0 ,于是 049A =9/4 答案选(B). 解二011 12 421~r9400 410 421,当=9/4 时, R(A)最小.