) 0 E A X ? ?得特征向量为 1 (2,1, 2) ?? ?; 对2???,解齐次线性方程组( 2 ) 0 E A X ? ??得特征向量为 2 (1, 2, 2) ??; 对4??,解齐次线性方程组(4 ) 0 E A X ? ?得特征向量为 3 ( 2, 2, 1) ?? ? ?; 因为 1 2 3 , , ???彼此正交,所以将其分别单位化得 1 2 3 2 1 2 1 2 2 2 2 1 , , , , , , , , 3 3 3 3 3 3 3 3 3 ? ??? ??? ?????? ??? ?????? ?????. 令??' ' ' 1 2 3 , , T ? ???,则 T 为正交可逆矩阵,且有 1 1 0 0 0 2 0 0 0 4 T AT ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?为对角阵. 9. (20 分)设A 是n 阶下三角阵. 如果 11 22 nn a a a ? ???,且至少有一 0 0 0( ) i j a i j ? ?,证明:A 不可对角化. 证明: E A ??的最小多项式为 11 ( ) na??,又有命题 A 可对角化的?A 的最小多项式无重根[1]. 显然 A 不可对角化. 参考文献: [1] 贾正华. 矩阵可对角化的几个判定方法. 巢湖学院学报[J].2010 ,12 (6).
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