全等三角形之手拉手模型与半角模型

图2Р（1）求证：BD=AE；Р（2）若等边△CDE绕点C旋转到BC、EC在一条直线上时，（1）中结论还成立吗？请给予证明；Р（3）旋转到如图2位置时，若F为BD中点，G为AE中点，连接FG，求证：Р①△CFG为等边三角形；Р②FG∥BC．Р分析：Р识别出手拉手模型是解题的关键，而（1）问就是证明“结论2：BD=EC（左手拉左手等于右手拉右手）”；РР解答：Р（1）证明：∵△ABC与△CDE是等边三角形Р∴∠ACE=60°-∠ACD，∠BCD=60°-∠ACD，AC=BC，CE=CDР∴∠ACE=∠BCDР∵在△ACE与△BCD中РР∴△ACE≌△BCD（SAS）Р∴BD=AEР（2）结论仍然成立，证明如下：Р①顺时钟旋转Р∵△ABC与△CDE是等边三角形Р∴∠ACE=60°+∠ACD，∠BCD=60°+∠ACD，AC=BC，CE=CDР∴∠ACE=∠BCDР∵在△ACE与△BCD中РР∴△ACE≌△BCD（SAS）Р∴BD=AEР②逆时针旋转Р∵△ABC与△CDE是等边三角形Р∴∠ACE=60°，∠BCD=60°，AC=BC，CE=CDР∴∠ACE=∠BCDР∵在△ACE与△BCD中РР∴△ACE≌△BCD（SAS）РР∴BD=AEР综上，BD=AE。Р（3）Р①证明：∵△ACE≌△BCDР∴∠CBF=∠CAG，AE=BDР∵F是BD中点，G是AE中点Р∴BF=AG，又BC=ACР∵在△ACG与△BCF中РР∴△ACG≌△BCF（SAS）Р∴CF=CG，∠BCF=∠ACG=60°Р∴∠CFG=∠CGF（等边对等角），∠FCG=∠ACG =60°Р∴∠CFG=∠CGF= 180°-∠FCG 2 = 180°-60° 2 =60°Р∴∠CFG=∠CGF=∠ACG =60°Р∴△CFG是等边三角形Р②证明：∵∠CFG=∠ACB=60°Р∴FG∥BC