初中数学构造全等三角形证题学法指导

。求证:EF=FD。证明:过E作EM∥AC交BC于M,如图6。则∠EMB=∠ACB,∠MEF=∠CDF。∵AB=AC,∴∠B=∠ACB。∴∠B=∠EMB。故EM=BE。∵BE=CD,∴EM=CD。又∵∠EFM=∠DFC,∠MEF=∠CDF,∴△EFM≌△DFC(AAS)。EF=FD。四、作垂线构造全等三角形例4.如图7,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC。M是AC边的中点。AD⊥BM交BC于D,交BM于E。求证:∠AMB=∠DMC。证明:作CF⊥AC交AD的延长线于F。如图8。∵∠BAC=90°,AD⊥BM,∴∠FAC=∠ABM=90°-∠BAE。∵AB=AC,∠BAM=∠ACF=90°,∴△ABM≌△CAF(ASA)。∴∠F=∠AMB,AM=CF。∵AM=CM,∴CF=CM。∵∠MCD=∠FCD=45°,CD=CD,∴△MCD≌△FCD(SAS)。所以∠F=∠DMC。∴∠AMB=∠F=∠DMC。五、沿高线翻折构造全等三角形例5.如图9,在△ABC中,AD⊥BC于D,∠BAD>∠CAD。求证:AB>AC。证明:把△ADC沿高AD翻折,点C落在线段DB上的E点处,即:在DB上截取DE=DC,连接AE。如图10。∴△ADC≌△ADE(SAS)。AC=AE,∠C=∠AED。∵∠AED>∠B,∴∠C>∠B。从而AB>AC。六、绕点旋转构造全等三角形例6.如图11,正方形ABCD中,∠1=∠2,Q在DC上,P在BC上。求证:PA=PB+DQ。证明:将△ADQ绕点A按顺时针方向旋转90°,使AD与AB重合,得到△ABM,即:延长CB到M,使BM=DQ,连接AM。如图12。∴△ABM≌△ADQ(SAS)。∴∠4=∠2=∠1,∠M=∠AQD。∵AB∥CD,∴∠AQD=∠BAQ=∠1+∠3=∠4+∠3=∠MAP。∴∠M=∠MAP。∴PA=PM=PB+BM=PB+DQ(因BM=DQ)。