讨论。正解1)当时,当且仅当即时取等号。所以当时,2)当时,,当且仅当,即时取等号,所以当时,.二、注意“定值”.例2.当时,求的最小值。错解:因为所以当且仅当即时,。分析:用均值不等式求“和”或“积”的最值时,必须分别满足“积为定值”或“和为定值”,而上述解法中与的积不是定值,导致应用错误。正解:因为当且仅当,即时等号成立,所以当时,。例3、已知。误解:,。分析以上过程只能说明当。但没有任何理由说明这种似是而非的错误解法,关键在于运用重要不等式放缩后的式子不是定值,致使得不出正确的结果。正确解法:,所以仅当。三、注意“取等”。例4.求的最小值。错解因为所以分析忽视了取最小值时须成立的条件,而此式化解得,无解,所以原函数取不到最小值。正解令,则又因为时,是递增的。所以当,即时,。例5、已知:三棱锥的三条侧棱两两互相垂直,六条棱的总和为L,求这个三棱锥体积的最大值。解:设三个互相垂直的棱为a、b、c分析:当同时运用几个均值不等式时,要同时満足几个均值不等式成立的条件才能取最值。例6、错解,分析分析解题时两次运用均值不等式,但取等号条件分别为和,而这两个式子不能同时成立,故取不到最小值12.。正解一:,.正解二:。。综上所述,应用均值不等式求最值要注意:一要正:各项或各因式必须为正数;不是正数但同号可通过变形或分类加以处理和解决。二可定:必须满足“和为定值”或“积为定值”,要凑出“和为定值”或“积为定值”的式子结构,如果找不出“定值”的条件用这个定理,求最值就会出错;运用重要不等式放缩后的式子要保证其仍为定值。三能等:要保证等号确能成立,如果等号不能成立,那么求出的仍不是最值。特别地,有些函数在求最值时,需要同时运用几个均值不等式时或几次使用均值不等式进行放缩才能达到目的。放缩时要保证几个等号能同时成立。即“一正二定三相等”,必须全部条件满足,方可用其顺利运用基本不等式求最值。
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