证它的任何一个解满足恒等式: (为常数)9、当时,连续且。证明:方程(1)在区间上存在一个有界解,求出这个解。并证明:若函数是以为周期的周期函数,则这个解也是以为周期的周期函数。10、设函数连续可微,且,试证方程有积分因子 11、证明方程具有形如的积分因子的充要条件为,并求出这个积分因子。12、证明贝尔曼(Bellman)不等式。设为非负常数,和是区间上的非负连续函数,且满足不等式 则有 , 。13、设在方程中,在某区间上连续且恒不为零,试证:它的任意两个线性无关的解的朗斯基行列式是区间上的严格单调函数。14、假设是二阶齐次线性方程 的解,这里和是区间上的连续函数。试证:为方程的解的充要条件是。其中表示的朗斯基行列式。15、在方程中,在上连续,且。试证明:已知方程的任一解均有。16、设为连续函数,且满足。求证:.17、设是常系数线性方程组的基解矩阵,适合条件,试证对任何成立等式.18、设是连续的阶方阵,存在,且适合关系,.试证:存在阶常值方阵A,使得。证明题答案 1、证明:设x=x(t)为方程的任一解,它满足某初始条件x(t0)=x0,t0[0+)由一阶线性方程的求解公式有 现只证在[t0,+)有界,设,t[0+)于是对t0t<+有|x0|+|x0|+M[]|x0|+M即证 2、证明:设y=y(x)为方程的任一解,它满足某初始条件y(x0)=y0,x0由一阶线性方程的求解公式有现只证y(x)在[x0,+)有界,不妨设x0充分大 于是对x0x<+有,则存在M1>0,使当xx0时,有p(x)M1|y0|+|y0|+即证 。 3、证明:设y=y(x)为方程的任一解,它满足某初始条件y(x0)=y0,x0由一阶线形方程的求解公式有两边取极限== 4、证明:设y=y(x)为方程的任一解,它满足某初始条件y(x0)=y0,x0由一阶线性方程的求解公式有两边取极限=0+
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