+CР6. 微分方程求解时,都与一定的积分运算相联系。因此,把求解一个微分方程的过程称为一个微分方程。微分方程的解又称为(一个)积分。Р7. 把微分方程的通解用初等函数或通过它们的积分来表达的方法。注意如果通解能归结为初等函数的积分表达,但这个积分如果不能用初等函数表示出来,我们也认为求解了这个微分方程,因为这个式子里没有未知函数的导数或微分。Р8. y=f(x,y)主要特征是f(x,y)能分解为两个因式的乘积,其中一个因式仅含有x,另一因式仅含y,而方程p(x,y)dx+q(x,y)dy=0是可分离变量方程的主要特征,就像f(x,y)一样,p,q分别都能分解成两个因式和乘积。Р9Р积分得x=-cosx+cР将方程变形为xydy=(y-1)dx或=,当xy0,y1时积分得Р+y+ln+=cР (3)方程变形为=dx,当y-1,sinx0时积分得Р y=Csinx-1Р(4)方程变形为 exp(y)dy=exp(2x)dx,积分得Рexp(y)= exp(2x)+CР(5)当y1时,求得通积分ln=x+cР(6)方程化为 xydx=(1- y)(1+x)dx或dx=dy,积分得Рx-arctgx-ln+y=CР(7)当x(y--1)0时,方程变形得Р dx+=0Р两边积分并化简得Р y=1+exp(-x)Р10.二元函数f(x,y)满足f(rx,ry)=rf(x,y),r.>0,则称f(x,y)为m次齐次函数。m=0则称它为0次齐次函数。Р11.如果f(x,y)是0次齐次函数,则y=f(x,y)称为齐次方程。Р如果p(x,y)和q(x,y)同为m次齐次函数,则pdx+qdy=0为齐次方程。Р如果q0则=- f(x,y),由p,q为m次齐次函数推知f(x,y)为0次齐次函数故y=f(x,y)为齐次方程。Р12. 求解齐次方程经常用变换y=zx.用函数乘积导数的公式得Р =x+z
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