解;解:依题意联立方程组:故有:。由相切的条件可知:,即解得故为所求。(4)求出满足条件的解。解:将 代入,可得故为所求。求下列方程的解。1) 2)解:依题意联立方程组:解得:,。则令,。故原式可变成:.令,则,即有.两边同时积分,可得.将,代入上式可得:.即上式为所求。求解下列方程:解:由原式变形得:.两边同时积分得:.即上式为原方程的解。解:先求其对应的齐次方程的通解:.进一步变形得:.两边同时积分得:.利用常数变异法,令是原方程的通解。有.整理得:.两边同时积分得.故原方程的通解为:.解:令,代入方程整理得解得:即.解:由原式化简整理得:两边同时积分得:叙述一阶微分方程的解的存在唯一性定理。一阶微分方程 (1)其中是在矩形域上的连续函数。定义1 如果存在常数,使得不等式 对于所有 都成立,则函数称为在上关于满足Lipschitz条件。定理1如果在上连续且关于满足Lipschitz条件,则方程(1)存在唯一的解,定义于区间上,连续且满足初始条件,这里,。求方程通过点的第二次近似解。解: 令则 讨论方程通过点的解和通过点的解的存在区间。解:此时区域D是整个平面.方程右端函数满足延展定理的条件.容易算出,方程的通解是:故通过(1,1)的积分曲线为:,它向左可无限延展,而当时,y→+∞,所以,其存在区间为(-∞,2)。考虑方程假设及在xOy平面上连续,试证明:对于任意及,方程满足的解都在上存在。证明:根据题设,可以证明方程右端函数在整个xOy平面上满足延展定理及存在与唯一性定理的条件.易于看到,为方程在(-∞,+∞)上的解.由延展定理可知足,任意,的解上的点应当无限远离原点,但是,由解的唯一性,又不能穿过直线,故只能向两侧延展,而无限远离原点,从而这解应在(-∞,+∞)上存在。设(1)验证函数是方程的通解;解:由,易得.故得以验证(2)求满足初始条件
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