由,得,.Р取,同理可得对应的特征向量为,Р则,均为方程组的解,Р令,又,Р∴即为所求基解矩阵.Р9、(12分)试证明:对任意及满足条件的,方程的满足条件的解在上存在.Р证明:∵,在全平面上连续Р∴原方程在全平面上满足解的存在唯一性定理及解的延展定理条件.Р又显然是方程的两个特解.Р现任取,,记为过的解,Р那么这个解可以唯一地向平面的边界无限延展,又上不能穿越,下不能穿越,Р因此它的存在区间必为.Р10、(10分)求平面上过原点的曲线方程,该曲线上任一点处的切线与切点和点的连线相互垂直.Р解:设曲线方程为,切点为,切点到点的连线的斜率为,Р则由题意可得如下初值问题:Р分离变量,积分并整理后可得,Р代入初始条件可得,Р因此得所求曲线为.Р11、(12分) 在方程中,已知,在上连续,且.求证:对任意和,满足初值条件的解的存在区间必为.Р证明:由已知条件可知,该方程在整个平面上满足解的存在惟一及延展定理条件,又存在常数解. Р 对平面内任一点,若,则过该点的解是,显然是在上有定义. Р 若,则,记过该点的解为,Р那么一方面解可以向平面的无穷远无限延展;Р另一方面在条形区域内不能上、下穿过解和,否则与解的惟一性矛盾.Р因此解的存在区间必为.Р12、(10分)设是方程的任意两个解,求证:它们的朗斯基行列式,其中为常数.Р证明:由已知条件,该方程在整个平面上满足解的存在唯一性及解的延展定理条件.Р显然是方程的两个常数解.Р任取初值,其中,,记过该点的解为,Р由上面分析可知,一方面可以向平面无穷处无限延展;Р另一方面又上方不能穿过,下方不能穿过,否则与唯一性矛盾,Р故该解的存在区间必为.Р13、(12分)试证:在微分方程Mdx+Ndy=0中,如果M、N试同齐次函数,且xM+yN0,则是该方程的一个积分因子。Р证明:如M、N都是n次齐次函数,Р则因为x+y=nM,x+y=nN,Р故有=Р=
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