为可测集ERq上积分确定,且E=,其中各Ei为互不相交的可测集,则定理5:(1)设f(P)=f(x,y)在A×BRp+q(A,B分别为Rp与Rq中的可测集)上非负可测,则对a.e.的xA,f(x,y)作为y的函数在B上可测,且(2)设f(P)=f(x,y)在A×BRp+Q上可积,则对a.e.的xA,f(x,y)作为y的函数在B上可积,又作为x的函数在A上可积且(1)式成立。定理6:设F(x)是[a,b]上的绝对连续函数,则几乎处处有定义的在[a,b]上可积且F(x)=F(a)+即F(x)总是在[a,b]上可积。我们将勒贝格积分的性质与黎曼积分的性质对照一下会发现:二者就线性性与单调性来说并无重大区别(黎曼积分的性质本文从略),其他性质则黎曼积分难于与勒贝格积分进行比拟:勒贝格积分扩大了可积函数类,原来在黎曼积分中不可积的Dirichlet函数在勒贝格积分中变得可积了.勒贝格积分及勒贝格可测集都具有了可列可加性.勒贝格积分解决了积分与极限的交换问题,降低了积分与求和、积分与积分交换的条件.黎曼可积不一定绝对可积,而勒贝格可积一定绝对可积;黎曼可积函数不一定连续,但勒贝格可积函数一定绝对连续.综上我们总结了勒贝格积分论的整个拓广过程以及在这个过程中的灵魂步骤,也就是测度的推广,我们可以看到正是抓住了问题的关键,才使得推广后的《实变函数》达到了预先要达到的目的,同时这个推广的过程也给后人的应用提供了一个思路,这个过程是极其具有建设性的过程。参考书目:《实变函数与泛函分析基础》程其襄等主编高等教育出版社《实变函数内容方法与技巧》孙清华孙昊主编华中科技大学出版社作者简介:李素文,1969年10月生人,1996年毕业于河北师范大学大学数学系,现就读河北大学数学数学与计算机学院,讲师。郝慧伟,1964年5月生人,1985年毕业于河北大学数学系,现就读河北大学数学数学与计算机学院,副教授。
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