部分或上半平面部分.Р若关于直线对称(见图4),则Р =Р若分成两部分=,分别为在的上方与下方部分Р Р2.3 二重积分的计算方法Р2.3.1[9]直角坐标系下的二重积分的计算Р 介绍二重积分的计算前先介绍X-型区域和Y-型区域的概念.图5和图6分别给出了这两种区域的典型图例.Р图5 图6РX-型区域:.其中函数在区间上连续.这种区域的特点是:穿过区域且平行于轴的直线与区域的边界相交不多于两个交点.РY-型区域:.其中函数在区间上连续.这种区域的特点是:穿过区域且平行于轴的直线与区域的边界相交不多于两个交点.Р 我们知道,在直角坐标系下,二重积分可写成Р =Р 假定积分区域为如下X-型区域:Р Р 当时,按照二重积分的几何意义,上述二重积分的值等于以积分区域为底,以曲面为顶的曲顶柱体(见图7)的体积.下面来计算这个曲顶柱体的体积.Р Р图7Р先计算截面的面积.为此在区间上任取一点,则过该点且平行于面的平面截面顶柱体所得的截面是一个一区间为底的曲边梯形(见图7阴影部分)所以此截面的面积为Р Р 于是,曲顶柱体的体积为Р = (1) Р上式右端的积分称为先对后对的二次积分,习惯上,常将其中的括号省略不写,而记为Р因此,公式(1)又写成Р (2)Р 注:虽然在讨论中,我们假定了,这只是为几何上说明方便而引入的条件,实际上,公式(2)的成立不受此条件的限制.Р 类似地,如果积分区域为Y-型区域:Р ,Р则有Р上式右端的积分称为先对x后对y的二次积分.Р如果积分区域既不是X-型区域又不是Y-型区域,我们可以将它分割成若干块X-型区域或Y-型区域(见图8)然后在每块这样的区域上分别应用公式(2)或(3),再根据二重积分对积分区域的可加性,即可计算出所给二重积分Р图8 图9Р如果积分区域既是X-型区域又是Y-型区域,即积分区域既可用不等式Р Р表示,又可用不等式Р Р表示(见图9),则有
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