区间中总能取到 0 和 1 两个值,和式 S(f) 将始终为 1,Р而 s(f) 始终为 0,D(x) 就不是黎曼可积的.Р 为了解决这个问题,勒贝格提出,与其分割定义域[a, b],不如分割 f 的值域(如图4):设Рf(x) ∈[−M, M],那么我们把区间[−M, M] 分成小区间,令−M = y0 < y1 < · · · < yn+1 = M,Р设区间[y , y ] 的原像为 E = {x ∈[a, b] | f(x) ∈[y , y ]},并且每个 E 都可测,那么记 EР i i+1 i i i+1 ∑ i iР的测度为 m(E ).可以断定,当区间[y , y ] 很小时,和式 S(f) = n y m(E ) 与和式Р ∑ i i i+1∑ i=0 i+1 iРs(f) = n y m(E ) 的差值 S(f) − s(f) = n (y − y )m(E ) 也会很小.事实上,不管Р i=0 i i∑ i=0 i+1 i i ∑Р如何分割,总是有 n m(E ) = b − a,因此,0 ≤ S(f) − s(f) = n (y − y )m(E ) ≤Р ∑ i=0 i i=0 i+1 i iР − n −−−→Рmaxi(yi+1 yi) i=0 m(Ei) = maxi(yi+1 yi)(b a),当 maxi(yi+1 yi) 0 时,不管 f 性Р态如何,上下和总是收敛到相同的极限,这个极限就可以定义为此函数在[a, b] 上的勒贝格Р积分.Р 7Р0.4 如何扩展测度和积分绪论:从面积到测度,从黎曼积分到勒贝格积分Р 图 4: 勒贝格积分Р 用这个观点考察狄利克雷函数 D(x) 在某个区间[a, b] 上的积分,发现和式 s(D) 始终为Р零,而 S(D) = y1 → 0,从而 D(x) 在任何区间上都是勒贝格可积的,并且积分为零.Р 8
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