初中数学奥林匹克竞赛方法与测试试题大全

2,…,n组成的集合满足要求.因为其中任意k个数之和为m·n!+k(m∈N,2≤k≤n)由于n!=1·2·…·n是k的倍数,所以m·n!+k是k的倍数,因而为合数.对任意两个数ai与aj(i>j),如果它们有公共的质因数p,则p也是ai-aj=(i-j)n!的质因数,因为0<i-j<n,所以p也是n!的质因数.但ai与n!互质,所以ai与aj不可能有公共质因数p,即ai、aj(i≠j)互素.令n=5,便得满足条件的一组数:121,241,361,481,601.A1-016已知n≥2,求证:如果k2+k+n对于整数k素数.【题说】第二十八届(1987年)国际数学奥林匹克题6.本题由原苏联提供.(1)若m≥p,则p|(m-p)2+(m-p)+n.又(m-p)2+(m-p)+n≥n>P,这与m是使k2+k+n为合数的最小正整数矛盾.(2)若m≤p-1,则(p-1-m)2+(p-1-m)+n=(p-1-m)(p-m)+n被p整除,且(p-1-m)2+(p-1-m)+n≥n>p因为(p-1-m)2+(p-1-m)+n为合数,所以p-1-m≥m,p≥2m+1由得4m2+4m+1≤m2+m+n即3m2+3m+1-n≤0由此得 A1-017正整数a与b使得ab+1整除a2+b2.求证:(a2+b2)/(ab+1)是某个正整数的平方.【题说】第二十九届(1988年)国际数学奥林匹克题6.本题由原联邦德国提供.a2-kab+b2=k                                  (1)显然(1)的解(a,b)满足ab≥0(否则ab≤-1,a2+b2=k(ab+1)≤0).又由于k不是完全平方,故ab>0.设(a,b)是(1)的解中适合a>0(从而b>0)并且使a+b最小的那个解.不妨设a≥b.固定k与b,把(1)看成a的二次方程,它有一根为a.设另一根为a′,则由韦达定理