,下同,略.例4.设函数,其图像与轴交于两点,且.证明:.【解析】由,易知:的取值范围为,在上单调递减,在上单调递增.法一:利用通法构造新函数,略;法二:将旧变元转换成新变元:∵两式相减得:,记,则,设,则,所以在上单调递减,故,而,所以,又∵是上的递增函数,且,∴.容易想到,但却是错解的过程:欲证:,即要证:,亦要证,也即证:,很自然会想到:对两式相乘得:,即证:.考虑用基本不等式,也即只要证:.由于.当取将得到,从而.而二元一次不等式对任意不恒成立,故此法错误.【迷惑】此题为什么两式相减能奏效,而变式相乘却失败?两式相减的思想基础是什么?其他题是否也可以效仿这两式相减的思路?【解决】此题及很多类似的问题,都有着深刻的高等数学背景.拉格朗日中值定理:若函数满足如下条件:函数在闭区间上连续;函数在开区间内可导,则在内至少存在一点,使得.当时,即得到罗尔中值定理.上述问题即对应于罗尔中值定理,设函数图像与轴交于两点,因此,∴,……由于,显然与,与已知不是充要关系,转化的过程中范围发生了改变.例5.(2011年辽宁理)已知函数(I)讨论的单调性;(II)设,证明:当时,;(III)若函数的图像与轴交于两点,线段中点的横坐标为,证明:.【解析】(I)易得:当时,在上单调递增;当时,在上单调递增,在上单调递减.(II)方法一:构造函数,利用函数单调性证明,方法上同,略;方法二:构造以为主元的函数,设函数,则,,由,解得,当时,,而,所以,故当时,.(III)由(I)知,只有当时,且的最大值,函数才会有两个零点,不妨设,则,故,由(II)得:,又由在上单调递减,所以,于是,由(I)知,.【问题的进一步探究】对数平均不等式的介绍与证明两个正数和的对数平均定义:对数平均与算术平均、几何平均的大小关系:(此式记为对数平均不等式)取等条件:当且仅当时,等号成立.只证:当时,.不失一般性,可设
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