tan20°≈0.3640,tan70°≈2.7475).(第1题图)考点:解直角三角形的应用-仰角俯角问题.分析:作出图形,可得AB=500米,∠A=20°,在Rt△ABC中,利用三角函数即可求得BC的长度.解答:解:在Rt△ABC中,AB=500米,∠BAC=20°,∵=tan20°,∴BC=ACtan20°=500×0.3640=182(米).故答案为:182.点评:本题考查了解直角三角形的应用,关键是根据仰角构造直角三角形,利用三角函数求解.三.解答题1.(2014•湘潭,第25题)△ABC为等边三角形,边长为a,DF⊥AB,EF⊥AC,(1)求证:△BDF∽△CEF;(2)若a=4,设BF=m,四边形ADFE面积为S,求出S与m之间的函数关系,并探究当m为何值时S取最大值;(3)已知A、D、F、E四点共圆,已知tan∠EDF=,求此圆直径.(第1题图)考点:相似形综合题;二次函数的最值;等边三角形的性质;圆周角定理;解直角三角形分析:(1)只需找到两组对应角相等即可.(2)四边形ADFE面积S可以看成△ADF与△AEF的面积之和,借助三角函数用m表示出AD、DF、AE、EF的长,进而可以用含m的代数式表示S,然后通过配方,转化为二次函数的最值问题,就可以解决问题.(3)易知AF就是圆的直径,利用圆周角定理将∠EDF转化为∠EAF.在△AFC中,知道tan∠EAF、∠C、AC,通过解直角三角形就可求出AF长.解答:解:(1)∵DF⊥AB,EF⊥AC,∴∠BDF=∠CEF=90°.∵△ABC为等边三角形,∴∠B=∠C=60°.∵∠BDF=∠CEF,∠B=∠C,∴△BDF∽△CEF.(2)∵∠BDF=90°,∠B=60°,∴sin60°==,cos60°==.∵BF=m,∴DF=m,BD=.∵AB=4,∴AD=4﹣.∴S△ADF=AD•DF=×(4﹣)×m=﹣m2+m.
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