数,使得.证明你的结论.解:因为为合数,故设,其中为一个素数,为大于1的整数。那么能整除,即能整除。因为为素数,所以,且。那么,由于,所以能整除,所以能整除。因为,所以只能整除,而也是一个素数,因此。因此有整除,于是。据费马小定理,有,而,矛盾。综上,不存在合数和正整数,使得.等式即,又,即若11能整除,则可设,且为偶数,则有可得,故设,于是例13.求方程的正整数解,其中.解:方程即,可知,且。若,则,可得。因为与是一奇一偶两数,所以为奇数,不合题设,舍;若,则为正偶数,可知与的奇偶性相同。当与同为偶数,可令,则有,可得,可知与的奇偶性相同。可见与含因数2的个数是相同的。故令,且均为正奇数,于是有,其中。可知,且。因为均为奇数,所以为偶数。若,可得,于是,且。同上道理,必为偶数。因此,可令,则。所以,,…,这只能,即。若,则,可得,且。于是不定方程的解为四、(本题满分50分)求方程的正整数解,其中.四、(本题满分50分)【解答】下证,若为大于1的奇数,则此时原方程无满足题意的解.下证关于、、、的方程无满足、、、均为正整数且的解.(反证)若关于、、、的方程有满足、、、均为正整数且的解.由于为偶数,、的奇偶性相同.若、同为奇数,则原方程可化为,注意到是个正奇数之和,故为大于1的奇数,这与它是的因子矛盾,故、同为偶数.设是所有解中使最小的,则可设,,其中,均为正整数,则有,此时由,得,即,,且也是其一组解,与的最小性矛盾.故当为大于1的奇数时,方程无满足、、、均为正整数且的解,因此,为正偶数.设在解中,有,故有,则应有与同为2的正整数次幂,且.设,则由前面的讨论知不可能是大于1的奇数.若是正偶数,由无穷递降法,,有,则正整数解组与正整数解组中的最小性相矛盾.则只能有,.在本题中,.故原方程可化为.设,其中为正整数,则.且由,有,故,.综上,知满足题意的原方程的所有解组为,其中,.
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