间内具有任意阶导数,且可展成幂级数,则幂级数的系数Р,,Р其中.Р定义1 设在的某邻域内具有任意阶导数,则以为系数的幂级数Р Р称为在点处的泰勒级数.当时,幂级数Р称为在点处的麦克劳林级数.Р 定理2 (泰勒中值定理)设在含有点的区间内,有一阶直到阶的连续导数,则当取区间内的任何值时,可以按的方幂展开为Р Р其中(在与之间)Р上述公式称为函数的泰勒公式,余项称为拉格朗日型余项.Р特别地,当时,泰勒公式为Р.Р其中.或令;Р则.Р上面的公式称为麦克劳林公式.Р二、函数的泰勒展开式Р这里主要介绍如何把已知函数展成它的泰勒(Taylor)级数,并求其收敛区间.Р (一)直接展开法Р所谓直接展开法是指利用定理,证明,进而写出展开式并求出其收敛域.Р例1 试在处,展开为泰勒级数.Р解显然有各阶连续导数,且,于是.Р ,其中在到之间.Р,Р由于对指定的来说,,是非零有界变量.用正项级数比值判别法可知,对任意的级数都收敛,因而.由两边夹定理有于是,对任何实数,都有Р例2 把展成麦克劳林级数.Р解,Р Р于是Р其中在到之间.Р(二)间接展开法Р用已知函数的泰勒级数展开式,通过适当的运算,而将给定函数简捷灵便地展开.Р例3 试展开为麦克劳林级数. Р解注意到;那么就有Р .Р 例4 把在处展成泰勒级数.Р 解因为.Р 于是,逐项积分可得,Р.Р 例5 将在处展开成泰勒级数.Р 解因为.Р于是,逐项积分可得,Р Р 例6 展开为的幂级数. Р解因为;所以Р Р .Р例7 求在处的泰勒展开式.Р 解.Р 例8 把展成的幂级数.Р 解因为Р Р Р注意到.Р于是Р Р .ЕР小结Р1. 级数展开的充要条件;Р2. 函数的间接展开,函数的直接展开。Р 作业Р作业: p216 习题 8.4: 2,3,4,5.РP231—233 第八章(自测题): 3(7)—(10),6,7.Р预习: 第九章9.1
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