数值域为:.例10求函数y=的最值.【思考与分析】本题属较复杂的函数求最值问题,用我们以前学习的知识很难解决,但注意到y=由=1,故可用sin2θ+cos2θ=1换元求解.解:原函数定义域为+∞),且为奇函数.先考虑x∈[1,+∞)的情况,原函数变为y=由可用换元法求解.令=cosθ,代入①,得y=sinθ+cosθ=∴1≤y≤(x≥1).又原函数是奇函数,∴-≤y≤-1(x≤-1).故原函数的最大值为,最小值为-.【小结】平方关系sin2θ+cos2θ=1,常用来进行三角换元.六、整体思想有时从整体的角度解题,可以减少计算量或避免分类讨论.例11.证明cos.证明:设,b=,则ab===.因为b≠0,所以a=。即原式得证.七、特殊化(具体化)思想对一些比较复杂或抽象的问题,若先将其特殊化或具体化,可以更容易找到解题思路.例12函数,在区间上是增函数,且,,则函数在().A.是增函数?B.是减函数 C.可以取得最大值M?D.可以取得最小值解:由于和两函数图象的相对位置关系不变,所以可令,区间为,,则,由余弦函数的性质得答案为C.[评述]此题主要考查函数的性质,兼考分析思维能力.要求对基本函数的性质能熟练运用(正用和逆用);取特殊值可降低难度,简化命题.八.类比联想的方法例13.已知λ为非零常数,x∈R,且f(x+λ)=。问f(x)是否是周期函数?若是,求出它的一个周期;若不是,请说明理由.分析:由于探索的是周期函数的问题,容易联想到三角函数.又f(x+λ)=的结构的形式极易与tan(x+)=进行类比,故可把tanx看成是f(x)的一个原型实例,且题中的λ相当于实例中的.由于周期函数tanx的周期T=4·,故可猜想f(x)也为周期函数,且周期为4λ.解:f(x+2λ)=f[(x+λ)+λ]=,则f(x+4)=f[(x+2)+2]=.所以f(x)是周期函数,且4是它的一个周期.
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