b)e-1=abS.再者因ae-1=aS,故a~e,由对称性可知e~a,即ea-1=a-1S.可见S是G的一个子群.文档收集自网络,仅用于个人学习接着证明当S是G的一个子群,下面证明~是一个等价关系.对任意aG,有aa-1=eS,故此a~a(自反性);若a~b,则ab-1S,因为S为G的子群,故(ab-1)-1=ba-1S,因此b~a(对称性);若a~b,b~c,那么ab-1S,bc-1S,故ab-1bc-1=ac-1S,因此a~c(传递性).文档收集自网络,仅用于个人学习综上可知~是一个等价关系. 10.设n为一个正整数,nZ为正整数加群Z的一个子群,证明nZ与Z同构.证明:我们容易证明为Z到nZ的同构映射,故此nZ与Z同构. 11.证明:在S4中,子集合B={e,(12)(34),(13)(24),(14)(23)}是子群,证明B与U4不同构.证明:可记a=(12)(34),b=(13)(24),c=(14)(23),那么置换的乘积表格如下:文档收集自网络,仅用于个人学习 bae由该表格可以知道B中的元素对置换的乘法封闭,并且B的每一元都可逆(任意元的逆为其本身),因此B为S4的子群.这个群(以及与其同构的群)称为Klein(C.L.Klein,1849-1925)四元群.文档收集自网络,仅用于个人学习假设B与U4同构,并设f为B到U4的同构映射,则存在B中一元x使得f(x)=i(i为虚数单位),那么文档收集自网络,仅用于个人学习f(x2)=f2(x)=i2=-1另一方面,f(x2)=f(e)=1(注意x2=e),产生矛盾.所以假设不成立,即B与U4不同构. [讨论]B与U4都是4元交换群,但是后者是循环群,前者不是,这是这两个群的本质区别. 12.证明:如果在一阶为2n的群中有一n阶子群,它一定是正规子群.证明:[方法1]设H是2n阶群G的n阶子群,那么对任意aH,有
全文预览
