近世代数论文

理2[6] 若欧氏环中,则对,都有.Р证明因为,所以1是的最大公因式.所以使得对都有,由此可知与相同公因式,从而.Р推论4 在欧氏环中若,则,.Р证明因为,且由定理2可知, Р.Р同理可得.Р推论5 欧氏环中若,那么.Р证明由定理2得即,.Р同样可得Р.Р3 应用举例Р例1[5] 证明:Gauss整数环是一个欧氏环.Р证明显然是复数域的一个子环,且,于是是一个整环.令Р,Р,Р其中是的模,则是一个到的映射.Р下面证明:,,,使Р,或.Р设,其中.现取分别是与最接近的整数,令,,则Р,Р于是Р其中.因为所以.若,Р则Р因此,是欧氏环.Р例2[5] 设整环中任意两个元的最大公因子都存在,是中个不全为零的元,若,证明:是的最大公因子Р互素.Р证明若是的最大公因子,由及是中个不全为零的元可得.现设是的一个公因子,则是的公因子,从而,于是,即是单位.因此互素.Р反之,令是的最大公因子,则.又因为是的最大公因子,所以,即,于是=Р.又由可得.而,于是,即是的一个公因子.因为互素,所以是一个单位,于是,因此也是的最大公因子.Р4 总结Р总之,一个欧氏环中既可以明确地看到最大公因式的存在性,又可以给出具体求法,另外欧氏环中讨论问题比较方便,其很有实用性的特殊主理想环,又是一个唯一分解环.Р参考文献Р[1] N.Jaeobson.Basie Algebra.W.H.Freeman pany,1974.Р[2] 张禾瑞.近世代数基础[M].北京:高等教育出版社,1978.Р[3] 吴品三.近世代数[M].北京:高等教育出版社,1980.Р[4] N.Jaeobson.Lectures in Abstraet Algebra.V.1.1951.Р[5] 朱平天,李伯葓,邹园.近视代数[M].北京:第二版.科学出版社.Р[6] 李冰.关于欧氏环定义中单位元的讨论[J].唐山师专学报,1993,21