??,有????=??,且对每个??∈??至少有一个“左逆元”???1,即对???∈??,有???1??=??,则称??按运算°构成一个群群群..定定定义义义1.2.3..设??为群,则??中左单位元也是右单位元,从而是单位元,每个??∈??的左逆元也是右逆元,从而为??的逆元..定定定理理理1.2.3第一章群论(上)10证证证明明明设??是??的左单位元,???∈??有左逆元???1. ???1??=??.???1=?????1= (???1??)???1=???1?????1设???1的左逆元为??= (???1)?1则??=?????1=??(???1(?????1))= (?????1)(?????1) =??(?????1) =?????1????=??(???1??) = (?????1)??=????=??因此??为群??单位元,由于???1??=??=?????1, ???1为??在群??中逆元...设??为群,对于??∈??有????+??=????????,(????)??=??????(??, ??∈?).定定定理理理1.2.4..半群??构成群等价于它具有下列可除性条件:对任何??, ??∈??,{????=??????=??在??中有解..定定定理理理1.2.5证证证明明明“?”:??为群时,??(???1??) = (?????1)??=????=???????=??在??中有解.(?????1)??=??(???1??) =????=???????=??在??中有解.“?”:任取??∈??, ????=??在??中有解??,则????=??.任给??∈??,有??∈??,使得????=??,于是????=??????= (????)??=????=??可见??为??的左单位元;又????=??在??中有解,那么??为??的左逆元.于是??为群.
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