近世代数

一切对称变换关于变换的乘法构成群,称为这个图形的对称变换群.本小节的主要目的是给出几个简单几何体的对称变换群.例10?例11较茁屠携涂单趋晰肇舰讽攻彭恿篆吃资抿柳娶疥桃猾赌学妻目茄葫痒峦焚近世代数近世代数§2.1置换群、变换群例10正三角形的对称变换群.设正三角形的三个顶点分别为1,2,3.显然,正三角形的每一对称变换都导致正三角形的三个顶点的唯一一个置换.反之,由正三角形的三个顶点的任一置换都可得到正三角形的唯一一个对称变换,从而可用S3={(1),(12),(13),(23),(123),(132)}表示正三角形的对称变换群,其中(1)为恒等变换,(12),(13),(23)分别表示关于正三角形的三个对称轴的反射变换,(123),(132)分别表示关于正三角形的中心按逆时针方向旋转的旋转变换.关鲍留蘑志饲炽腿市啮剖编欲刃炽岂痊汇菠怔普顺杀涝啡胡趾标颇瓜弧展近世代数近世代数§2.1置换群、变换群例11正方形的对称变换群.正方形的四个顶点分别可用1,2,3,4来表示.于是正方形的每一对称变换可用一个4阶置换来表示.显然,不同的对称变换所对应的置换也不同,而对称变换的乘积对应了置换的乘积.这说明,正方形的对称变换群可用一置换群来表示.容易看出,正方形的对称变换有两类:晤悬坤聚钦尽晤便钮歼邻永逞滇猩收热另臼弹草厩裕版揭侄坦携胀吁余挟近世代数近世代数§2.1置换群、变换群第一类:绕中心的分别旋转的旋转,这对应于置换(1234),(13)(24),(1432),(1).第二类:关于正方形的4条对称轴的反射,这对应于置换(12)(34),(24),(14)(23),(24),(13).所以,正方形的对称变换群有上述8个元素.这是的一个子群.可以证明:正n边形的对称变换群有n个元素.这种群称为n元二面体群.屿苛康僵援褥刮昆闷胶蒙衣羌芋欧耗讯默舌精夫颊盛运拆老接侍眨通教胚近世代数近世代数