G,CI,FH。可得PQ=。?由△EGA≌△AIC,可得EG=AI,由△BFH≌△CBI,可得FH=BI。?从而可得PQ==,从而得证。例4.如图,四边形为正方形,,,与相交于.求证:.【证明】:顺时针旋转△ADE,到△ABG,连接CG.由于∠ABG=∠ADE=900+450=1350从而可得B,G,D在一条直线上,可得△AGB≌△CGB。推出AE=AG=AC=GC,可得△AGC为等边三角形。∠AGB=300,既得∠EAC=300,从而可得∠AEC=750。又∠EFC=∠DFA=450+300=750.AFDECB可证:CE=CF。例6.设是正方形一边上的任一点,,平分.求证:.【证明】:作FG⊥CD,FE⊥BE,可以得出GFEC为正方形。令AB=Y,BP=X,CE=Z,可得PC=Y-X。tan∠BAP=tan∠EPF==,可得YZ=XY-X2+XZ,即Z(Y-X)=X(Y-X),既得X=Z,得出△ABP≌△PEF,得到PA=PF,得证。DFEPCBADACBPD例7.已知:是边长为1的正方形内的一点,求的最小值.【证明】:顺时针旋转△BPC600,可得△PBE为等边三角形。既得PA+PB+PC=AP+PE+EF要使最小只要AP,PE,EF在一条直线上,即如下图:可得最小PA+PB+PC=AF。既得AF======。例8.为正方形内的一点,并且,,,求正方形的边长.【证明】顺时针旋转△ABP900,可得如下图:既得正方形边长L==。ACBPD【双基训练】1.如图,四边形是正方形,对角线、相交于,四边形是菱形,若正方形的边长为6,则菱形的面积为________.2.如图,是正方形,为上一点,四边形恰是一个菱形,则=________.【纵向应用】3.如图,四边形是边长为的正方形,点,分别是边,的中点,,且交正方形外角的平分线于点.(1)证明:;(2)证明:;(3)求的面积.
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