智爱高中数学 椭圆焦半径公式及应用

椭圆方程可知a=2,b=2,c=2,焦点在y轴上,=,设P(,),依焦半径公式,得:|PF|=2+y,|PF|=2-y,依题意有:|PF|=3|PF|或|PF|=3|PF|。即:2+y=3(2-y)或2-y=3(2+y)解得:y=2或y=-2。由此可知所求点P为(,2)或(,-2)或(-,2)或(-,-2)评析:在涉及到椭圆上的点与其焦点的距离,如果直接用两点间距离公式,运算将非常复杂,而选用焦半径公式使得运算走向合理化.例11、设F、F为椭圆+=1的两个焦点,P为椭圆上的一点.已知P、F、F是一个直角三角形的三个顶点,且|PF|>|PF|,求的值.解:由椭圆方程可知a=3,b=2,并求得c=,离心率=,由椭圆的对称性,不妨设P(x,y)(x>0,y>0)是椭圆上的一点,则由题意知|PF|应为左焦半径,|PF|应为右焦半径.由焦半径公式,得|PF|=3+x,|PF|=3-x.⑴若∠PFF为直角,则|PF|=|PF|+|FF|,即(3+x)=(3-x)+(2),解得x=,故==;⑵若∠FPF为直角,则|PF|+|PF|=|FF|,即(3+x)+(3-x)=(2),解得x=1,故==2.评析:当题目中出现椭圆上的点与焦点的距离时,常利用焦半径公式把问题转化,此例就利用焦半径公式成功地求出x值.例12、已知椭圆C:+=1,F、F为其两个焦点,问能否在椭圆C上找一点M,使点M到左准线的距离|MN|是|MF|与|MF|的等比中项?若存在,求出点M的坐标;若不存在,说明理由.解:设存在点M(x,y),使|MN|=|MF|·|MF|,由已知得a=2,b=,c=1,左准线为x=-4,则|+4|=(a+)(a-)=a-=4-,即+32+48=0,解得=-4[-2,2],或=-[-2,2],因此,点M不存在.评析:在涉及到椭圆上的点与其焦点的距离,发现用焦半径求解优越于其它解法。三.求变量范围