n发散,则级数Svn发散.证设级数收敛于和s,则级数的部分和sn=u1+u2+×××+un£v1+v2+×××+vn£s(n=1,2,×××),即部分和数列{sn}有界,由定理1知级数收敛.反之,设级数发散,则级数必发散.因为若级数收敛,由上已证明的结论,将有级数也收敛,与假设矛盾.证仅就un£vn(n=1,2,×××)情形证明.设级数Svn收敛,其和为s,则级数Sun的部分和sn=u1+u2+×××+un£v1+v2+×××+vn£s(n=1,2,×××),即部分和数列{sn}有界.因此级数Sun收敛.反之,设级数Sun发散,则级数Svn必发散.因为若级数Svn收敛,由上已证明的结论,级数Sun也收敛,与假设矛盾.推论设和都是正项级数,如果级数收敛,且存在自然数N,使当n³N时有un£kvn(k>0)成立,则级数收敛;如果级数发散,且当n³N时有un³kvn(k>0)成立,则级数发散.例1讨论p-级数的收敛性,其中常数p>0.例1讨论p-级数的收敛性.解设p£1.这时,而调和级数发散,由比较审敛法知,当p£1时级数发散.设p>1.此时有(n=2,3,×××).对于级数,其部分和.因为.所以级数收敛.从而根据比较审敛法的推论1可知,级数当p>1时收敛.综上所述,p-级数当p>1时收敛,当p£1时发散.解当p£1时,,而调和级数发散,由比较审敛法知,当p£1时级数发散.当p>1时,(n=2,3,×××).而级数是收敛的,根据比较审敛法的推论可知,级数当p>1时收敛.提示:级数的部分和为.因为,所以级数收敛.p-级数的收敛性:p-级数当p>1时收敛,当p£1时发散.例2证明级数是发散的.证因为,而级数是发散的,根据比较审敛法可知所给级数也是发散的.定理3(比较审敛法的极限形式)设和都是正项级数,如果(0<l<+¥),则级数和级数同时收敛或同时发散.定理3(比较审敛法的极限形式)
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