Р (6-19)Р其中,是的数量函数,是维向量函数。Р采用和数量函数情况相同的推论方法,可得向量形式的欧拉方程,Р (6-20)Р上式中数量函数对向量函数得导数,定义为Р (6-21)Р设端点A是固定得,端点B可沿曲线Р Р变动,此时B点得横截条件为Р (6-22)Р 四、条件极值的变分Р在控制理论中常遇到目标函数J依赖的函数需要满足一定约束条件的情况,在这种情况下使J达到极值得变分问题,类似函数条件极值问题。解决这类变分通常采用所谓的拉哥郎日乘子法,即构造一个常有乘子的辅助函数Р (6-23)Р 式中是乘子,它通常是时间的函数;是泛函变量需满足的第个约束方程。则泛函为Р (6-24)Р这样就得到了一个无条件限制的泛函。下面分两种约束形式进行讨论。Р1.几何约束Р现有泛函Р Р求它在几何约束条件Р Р下的极值。Р设,应用乘子构造函数为Р (6-25)Р 简记(6-26)Р 则式(6-25)可写成Р Р 然后,求泛函的无条件极值,写出欧拉方程Р (6-27)Р 将约束方程和欧拉方程联立求解,即可求得和3个未知函数。利用端点边界条件可确定欧拉方程中积分后4个任意常数。Р 2.运动约束Р当约束方程中含有函数导数项时,我们称此时得约束条件为运动约束,其一般表达式为Р Р在这种约束条件下求泛函极值的方法,与求几何约束泛函极值的方法完全一致。Р§6-2 最大值原理Р最大值原理是又一种求解最优控制问题的方法。它是庞特里雅金等人提出的。这种方法是古典变分学的延伸,但能成功古典变分法不易解决的问题。Р定理: 设是一个容许控制,是相应于的轨线,是相应于和得共态变量,则和为最优控制和最优轨线的必要条件是:Р 对于在区间上得每一个值,作用的函数必在点处达最大值。此定理就是“最大值原理”。Р[例6-1] 有如下二阶系统Р Р且,试求出最优控制使系统在终态自由的情况下使泛函取极值。Р解: 先构造H函数
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