要条件为Р [B AB … An-1B] =n (3-16)Р能观的充要条件为Р [CT ATCT …(AT)n-1CT]T =n (3-17)Р现在构造一个称为与系统S1对偶的系统S2Р (3-18)Р该系统满足A*=AT,B*=CT,C*=BT,则上式可以写成Р (3-19)Р式中,X和X*均为n维向量,u和u*同为m维向量,y和y*均为p维向量。Р显然,对于系统S2,状态完全能控的充要条件是Р [CT ATCT …(AT)n-1CT]T =n (3-20)Р式(3-20)和式(3-17)具有相同形式和相同的秩,即系统S2的能控性等价于系统S1的能观性。Р系统S2状态完全能观的充要条件是Р [BT BTAT …BT(AT)n-1]T=n (3-21)Р式(3-21)和式(3-16)具有相同形式和相同的秩,即系统S2能观性等价于系统S1的能控性。Р定理3—13 对偶原理,设S1=(A,B,C)和S2=(A*,B*,C*)是互为对偶的两个系统,系统S1的状态完全能控(状态完全能观)等价于系统S2的状态完全能观(状态完全能控)。Р根据这一原理,一个系统的状态完全能控(状态完全能观)的特性,可以转化为其对偶系统的状态完全能观(状态完全能控)的特性来研究。Р§3-5 线性定常系统的结构分析Р从前述可知,系统若是能控(能观)的,经过非奇异变换总可以得到相应的标准形,而变换后的标准形式和对应的原系统的数学模型在代数模型在代数上是等价的,所以互称为等价系统。从几何意义上说,是对原系统改变坐标系所进行的坐标变换,因此变换时所用的变换矩阵实际上是采用的新的坐标系的基底向量为列(或行)所构成,这种变换在线性理论中始终采用。其目的是为了便于对坐标系进行分析。当然这种变换只是在几何意义上进行的,即只改变了系统的数学模型的形式,而没有改变系统所固有的内在性质。这里所提到的内在性质至少包括如下内容:
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