∈R.Р(Ⅰ)当m=e(e为自然对数的底数)时,求f(x)的极小值;Р(Ⅱ)讨论函数g(x)=f′(x)﹣零点的个数;Р(Ⅲ)若对任意b>a>0,<1恒成立,求m的取值范围.Р【解答】解:(Ⅰ)当m=e时,f(x)=lnx+,Р∴f′(x)=;Р∴当x∈(0,e)时,f′(x)<0,f(x)在(0,e)上是减函数;Р当x∈(e,+∞)时,f′(x)>0,f(x)在(e,+∞)上是增函数;Р∴x=e时,f(x)取得极小值为f(e)=lne+=2;Р(Ⅱ)∵函数g(x)=f′(x)﹣=﹣﹣(x>0),Р令g(x)=0,得m=﹣x3+x(x>0);Р设φ(x)=﹣x3+x(x>0),Р∴φ′(x)=﹣x2+1=﹣(x﹣1)(x+1);Р当x∈(0,1)时,φ′(x)>0,φ(x)在(0,1)上是增函数,Р当x∈(1,+∞)时,φ′(x)<0,φ(x)在(1,+∞)上是减函数;Р∴x=1是φ(x)的极值点,且是极大值点,Р∴x=1是φ(x)的最大值点,Р∴φ(x)的最大值为φ(1)=;Р又φ(0)=0,结合y=φ(x)的图象,如图;Р可知:①当m>时,函数g(x)无零点;Р②当m=时,函数g(x)有且只有一个零点;Р③当0<m<时,函数g(x)有两个零点;Р④当m≤0时,函数g(x)有且只有一个零点;Р综上,当m>时,函数g(x)无零点;Р当m=或m≤0时,函数g(x)有且只有一个零点;Р当0<m<时,函数g(x)有两个零点;Р(Ⅲ)对任意b>a>0,<1恒成立,Р等价于f(b)﹣b<f(a)﹣a恒成立;Р设h(x)=f(x)﹣x=lnx+﹣x(x>0),Р则h(b)<h(a).Р∴h(x)在(0,+∞)上单调递减;Р∵h′(x)=﹣﹣1≤0在(0,+∞)上恒成立,Р∴m≥﹣x2+x=﹣+(x>0),Р∴m≥;Р对于m=,h′(x)=0仅在x=时成立;Р∴m的取值范围是[,+∞).
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