可交换矩阵的几个充要条件及其性质

3.4可知,所以. Р同理可证. Р推论3.4.2(1)与的特征多项式相等. Р(2)与的特征多项式相等. Р证(1)因为,.根据性质3.4知与的特征多项式相等,故与的特征多项式相等. Р同理可证与的特征多项式相等. Р性质3.5(1)矩阵与的秩相等,即秩=秩.特别地,秩=秩. Р(2)与的特征矩阵的秩相等,即秩=秩.特别地, 秩=秩. Р性质3.6若,中有一个是可逆的,则与相似. Р证不妨设可逆,由知,与相似. Р性质3.7(1)与同为可逆矩阵或同为不可逆矩阵. Р(2). Р(3)与的迹相等,即. Р性质3.8(1)不可能相似于. Р(2)对可逆矩阵,不可能有. Р证(1)因为,而(当时),由于相似矩阵的迹相等,所以不可能相似于非零矩阵. Р(2)若存在可逆矩阵,使则,于是,即与相似,从而这是不可能的. Р性质3.9(1)设,同为(反)对称矩阵,则是对称矩阵,是反对称矩阵. Р(2)设,有一个为对称矩阵,另一个为反对称矩阵,则是反对称矩阵,是对称矩阵. Р推论3.9.1(1)设,同为实(反)对称矩阵,则的特征值的实部为零.Р(2)设,有一为实对称矩阵,另一个为实反对称矩阵,则的特征值的实部为零. Р证(1)由性质3.9(1)知是实反对称矩阵.因为实反对称矩阵的特征值只能是零或纯虚数,所以的特征值的实部为零.Р同理可证(2).Р参考文献Р[1]北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数(第三版)[M].高等教育出版社,2003.Р[2]戴华.矩阵论[M].北京:科学出版社,2001.Р[3]戴立辉等.矩阵可交换的条件及可交换矩阵的性质[J].华东地质学院学报.2002:353-355.Р[4]闫家灏,赵锡英.可交换矩阵[J].兰州工业高等专科学校学报.2002:51-54.Р[5]李瑞娟,张厚超.可交换矩阵浅析[J].和田师范专科学校学报.2009:199-200.