.设函数,Р(1)求在区间(为正整数)的最大值;Р(2)令,(,为正整数),求证:.Р10.如图,矩形沿平行于的线段向上翻折(点在线段上运动,点在线段上运动),得到三棱柱,已知,.Р(1)若是直角三角形,这里是线段上的点,试求线段的长度的取值范围;Р(2)若(1)中的长度为取值范围内的最大整数,且线段的长度取得最小值,求二面角的值;Р(3)在(1)与(2)的条件都满足的情况下,求三棱锥的体积.Р11.已知正整数都可以唯一表示为(*)的形式,其中为非负整数,(),.试求(*)中的数列,,,…,严格单调递增或严格单调递减的所有正整数的和.Р试卷答案Р一、填空题Р1.?2.?3.?4.Р5.?6.3?7.或?8.Р三、解答题Р9.解:(1)因为,所以,当时,,即在是增函数,故在上的最大值为Р(2)由(1)知Р因为,所以Р又易证明,所以Р所以Р即Р10.(1)有题设条件可知,均为直角三角形,因此,Р由余弦定理:,Р于是:,Р所以:,又对Р,,,Р则:,故:的取值范围为.Р(2)因为,,所以就说二面角的平面角,又由(1)知,的长度为的最大整数,因此.于是:Р,Р因此时,线段的长度取得最小值,由此得:Р,.Р(3)由(1)、(2)知Р,,,,Р且.Р因为,,,所以:平面,故:Р11.设和分别表示(*)中数列严格单调递增和递减的所有正整数构成的集合.符号表示数集中所有数的和,并将满足(*)式的正整数记为:Р把集合分成如下两个不交子集和,我们有.Р,令,则是到的双射,由此得:Р,Р从而:.Р又对,令Р,Р则是到的双射,其中:Р.Р因为,Р所以中共有个元素,因此Р又令表示中最高位数的正整数全体,中其余的数和零所成集合记为,则Р对,令则是到的双射,其中:Р.Р所以Р最后对,令Р,Р则是到的双射,其中:Р.Р所以.Р于是Р.Р解之得:,,由于和中都含有1,2,…,8,因此所求正整数的和等于:Р.
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