2012年全国高中数学联赛广西赛区预赛试题参考解答及评分标准

CA CB CA C 又 22)2 2(||||a a CB CA ???,所以 218 1 cos a C??,由题意得 25 ,25 718 1 22???aa . 此时, |PA|=|PB| ,P点坐标为 P(0 ,±4). 所以 C点的轨迹方程为)0(116 25 22???y yx ……………………………… 10分(2) 不妨设 A点坐标为 A(-3 ,0),M(x 1,y 1),N(x 2,y 2).当直线 MN的倾斜角不为 90 06 时,设其方程为 y=k(x+3) 代入椭圆方程化简,得 0)116 9(8 3)16 25 1( 222 2????? kxkx k 显然有△≥ 0,所以 2 2212 22125 16 400 225 ,25 16 150 k kxxk kxx???????而由椭圆第二定义可得 25 16 531 144 25 531 25 25 16 144 531 25 25 16 144 81 25 16 450 25 25 9)(325 )5 35 )(5 35(|||| 2 22 22 22 2 212121???????????????????????k kk kk kk k xxxxxx BN BM ……………… 15分只要考虑 25 16 531 144 2 2??k k 的最小值,即考虑 25 16 531 144 25 16 1 2???k 取最小值. 当k=0 时, |||| BN BM ?取最小值 16. 当直线 MN的倾斜角为 90 0时, x 1=x 2=-3, 得16 )5 34 (|||| 2??? BN BM . 但在 2 2 1 0 25 16 x y y ? ? ?上,故0?k ,这样的 M、N不存在,即|||| BN BM ?的最小值的集合为空集.…………………… 20分