中线、底边上的高互相重合)Р 又∵BD⊥AC,Р∴△BDC为直角三角形РAРBРCРDРEР∴BE=CE=DE(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)Р∴∠EBD=∠EDB(等边对等角)Р又∵∠DEC=∠EBD+∠EDB(三角形的一个外角等于与Р它不相邻的两个内角之和)Р∴∠DEC=2∠EBD Р∴∠EBD=∠DECР∴∠CBD=∠DECР又∵∠BEA与∠BDA有公共弧ABР∴∠BEA=∠BDAР又∵∠BEA、∠BDA在AB的同侧,Р∴A、B、E、D四点共圆(如果两个三角形有一条公共边,这条边所对的角相等,并且在公共边的同侧,那么这两个三角形有公共的外接圆)Р又∵∠DEC为内接四边形ABED的一个外角Р∴∠DEC=∠BAD(圆的内接四边形任何一个外角等于它的内对角)Р∴∠CBD=∠BADР即∠CBD=∠A (等量代换)Р证明十:(如图)取BC的中点E并连接AE和DE,可得BE=CEР∵AB=ACР∴AE⊥BC,∠BAE=∠CAE (等腰三角形的角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合)Р∴∠CAE=∠BACРAРBРCРDРEР又∵BD⊥AC,则有△CDB为直角三角形Р∴BE=CE=DE(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)Р因此△CDE为等腰三角形,则有∠C=∠EDC(等边对等角)Р又∵∠C=∠ABC(等边对等角)Р∴∠EDC=∠ABC (等量代换)Р因此A、B、E、D四点共圆Р又∵∠EBD与∠DAE有公共弧DEР∴∠EBD=∠DAE (同弧所对的圆周角相等)Р∴∠EBD=∠CAE=∠BAC (等量代换)Р即∠CBD=∠AР点评:在数学证明题中,添加辅助线是最常用的方法之一。证明三至证明十都是通过作辅助线来解决问题的,作不同的辅助线,就可以得出不同的证明方法。有些证明题,不做辅助线就不知从何下手,所以辅助线在证明题中有着重要的地位。通过化归思想方法,问题就能得到解决。
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