称)那么它的另外一组对边(对角线)的斜率也互为相反数(关于某条与对称轴平行的轴对称)。基于命题4,我们自然会猜想它的结论是否能推广到任意圆锥曲线中去。于是有了命题5。命题5:圆锥曲线(标准方程)的内接四边形中,如果有一组对边的斜率互为相反数(关于某条与对称轴平行的轴对称)那么它的另外一组对边(对角线)的斜率也互为相反数(关于某条与对称轴平行的轴对称)。对于双曲线的证明如下:设双曲线的内接四边形,直线和的斜率互为相反数,求证:四边形的另外一组对边及两条对角线的斜率也互为相反数。设,,,则故即。所以证明:设,,,,,。联立,得所以,故,同理,又对、两点用点差法知,即所以直线的斜率.同理,故命题成立。证毕。抛物线的证明类同,此处不再细表,读者也可自己推导。命题5的另外一种叙述可以是命题6:从平面上一点(不在圆锥曲线上)引与圆锥曲线(标准方程)相交且与圆锥曲线某一对称轴对称的两条弦,两条弦构成的内接四边形中,对边(或对角线)关于某条与该对称轴平行的直线对称。命题6中,如果平面上的这一点(设为)在圆锥曲线上,满足题意的对称弦(设为和),则和点处的切线关于圆锥曲线的某条对称轴平行。笔者在得出命题5及命题6的同时,也为这个结论所困惑:是什么原因使得圆锥曲线有如此漂亮的性质。复杂的证明,不能揭示其本质及内在的原因。笔者试着去联系命题3中圆的特殊性,发现满足上述条件的四边形一定内接于某个圆。命题7:过平面上一点(不在圆锥曲线上)引与圆锥曲线(标准方程)相交且与圆锥曲线某一对称轴对称的两条弦,两条弦构成的内接四边形一定内接于某个圆。证明:设圆锥曲线的对称轴为轴,则不妨设其方程为,不在圆锥曲线上的一点,引切斜角为的两条直线。设直线与圆锥曲线交点所对应的参数,分别为,设直线与圆锥曲线交点所对应的参数,分别为。则联立直线与圆锥曲线方程,得故,同理即,故、、、四点共圆。再结合命题3知,命题5,6成立。
全文预览
