x、y,面额分别为a元、b元、c元,x≥1,y≥1.则axy+bx+cy=400.(1)当a=b=c,即三人所选面额相同时,则xy+x+y=400/a,即(x+1)(y+1)=400/a+1.(i)若a=50,则(x+1)(y+1)=9=3×3.解得x=2,y=2.所以,三人中,每人选50元面额的张数分别为2,2,4.此时,有一种选择方式.(ii)若a=20,则(x+1)(y+1)=21=3×7.解得x=2,y=6.所以,三人选择20元有一种选择方式.(iii)若a=10,则(x+1)(y+1)=41.此时,x、y无正整数解.(2)当a、b、c中有两个值相等时,根据选择无顺序性,可分为a=b≠c,b=c≠a两种情形.当a=b≠c时,axy+ax+cy=400,即(ax+c)(y+1)=400+c(y+1≥2).(i)若a=50,c=20,则(50x+20)(y+1)=420,即(5x+2)(y+1)=42=7×6.解得x=1,y=5.此时,有一种选择方式.(ii)若a=50,c=10,则(50x+10)(y+1)=410,即(5x+1)(y+1)=41(质数).上式无正整数解.(iii)若a=20,c=50,则(20x+50)(y+1)=450,即(2x+5)(y+1)=45=9×5=15×3.解得x=2,y=4或x=5,y=2.所以,有两种选择面额及张数方式.同理可得:(iv)若a=20,c=10,无正整数解.(v)若a=10,c=50,有两种选择面额及张数方式.(vi)若a=10,c=20,有五种选择面额及张数方式.(3)当a、b、c两两不相等时,同理可得:(i)若a=10,b=20,c=50,有一种选择面额及张数方式.(ii)若a=20,b=10,c=50,有一种选择面额及张数方式.(iii)若a=50,b=10,c=20,无正整数解.综上选择面额及张数方式共有14种
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